Question

【题目】如图，在中，点是边上（端点除外）的一个动点，过点作直线．设交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接、．那么当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】当点运动到的中点（或）时，四边形是矩形，证明详见解析.

【解析】

当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．

当点运动到的中点（或）时，四边形是矩形．

证明：∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

同理，，

∴，

又∵，

∴四边形是平行四边形，

∵是的外角平分线，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴平行四边形是矩形．