Question

如图，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120^o,M，N分别是AB,BC边上的中点.

（1）用尺规作图的方法，在AC上找一点P，使得MP+NP最短.

（不用写作法，保留作图痕迹）

（2）若AC边上的高为1，求MP+NP的最短长度.

 

Answer 1

（1）如图所示，点P即为所求．…………………2分

（2）连接AM’，MP，BP……………………………3分

∵点M’和点M关于AC对称

∴MP=M’P, ∠MPA=∠M’PA

又∵PA=PA

∴△MPA≌△M’PA………………………………4分

∴∠BAC=∠M’AC，AM=AM’…………………….5分

又∵AB=BC

∴∠BAC=∠C

∴∠M’AC=∠C…………………………………….6分

又∵M,N分别为AB，BC边上的中点

∴AM=NC

即：AM’=NC…………………………………………7分

又∵∠APM’=∠CPN

∴△APM’≌△CPN…………………………………..8分

∴AP=PC

∴BP为AC边上的高…………………………………9分

又∵在Rt△ABP中，∠BAP=30^o

∴BP=AB=MB…………………………………….10分

又∵∠ABP=60^o.

∴△BMP为等边三角形…………………………………11分

∴MP=BP=1………………………………………………12分

同理：NP=1……………………………………………..13分

∴MP+NP的最短长度为2．…………………………14分