题目内容
如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；
（2）若sin∠C=
| 12 | 13 |
分析：（1）由于tanB=cos∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC=BD；
（2）设AD=12k，AC=13k，然后利用题目已知条件即可解直角三角形．
（2）设AD=12k，AC=13k，然后利用题目已知条件即可解直角三角形．
解答：（1）证明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB=
，cos∠DAC=
，
又∵tanB=cos∠DAC，
∴
=
，
∴AC=BD．
（2）解：在Rt△ADC中，sinC=
，
故可设AD=12k，AC=13k，
∴CD=
=5k，
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13k+5k=18k
由已知BC=12，
∴18k=12，
∴k=
，
∴AD=12k=12×
=8．
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB=
| AD |
| BD |
| AD |
| AC |
又∵tanB=cos∠DAC，
∴
| AD |
| BD |
| AD |
| AC |
∴AC=BD．
（2）解：在Rt△ADC中，sinC=
| 12 |
| 13 |
故可设AD=12k，AC=13k，
∴CD=
| AC2-AD2 |
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13k+5k=18k
由已知BC=12，
∴18k=12，
∴k=
| 2 |
| 3 |
∴AD=12k=12×
| 2 |
| 3 |
点评：此题考查解直角三角形、直角三角形的性质等知识，也考查逻辑推理能力和运算能力．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
20、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE的位置，使AC⊥DE，则∠B=
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边作垂线，画出一个新的等腰三角形，如此继续下去，直到所画出的直角三角形的斜边与△ABC的BC重叠，这时这个三角形的斜边为
2、如图，在△ABC中，DE∥BC，那么图中与∠1相等的角是（ ）
如图，在△ABC中，AB=AC，且∠A=100°，∠B=