Question

【题目】如图，在⊙O中，AB是的直径，PA与⊙O 相切于点A，点C在⊙O 上，且PC＝PA，

（1）求证PC是⊙O的切线；

（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝PA＝2，

①求图中阴影部分面积；

②连接AC，若△PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为 ．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①S阴影＝． ②．

【解析】

（1）连接OCOP，证明△PCO≌△PAO，即可解答

（2）①作CM⊥AP于点M，得到△PCA是等边三角形．然后在Rt△COE中得到OC＝2．即可解答 .

②根据题意求出CH=AH=3，由I为正△PAC的内心，即可求出解答 .

（1）证明：连接OCOP，

∵点C在⊙O上，

∴OC为半径．

∵PA与⊙O相切于点A，

∴OA⊥PA．

∴∠PAO＝90°．

∵OC＝OA，

OP＝OP，

PC＝PA，

∴△PCO≌△PAO．

∴∠PCO＝∠PAO＝90°．

∴PC⊥OC．

∴PC是⊙O的切线．

（2）①作CM⊥AP于点M，

∵CD⊥AB，

∴CE＝DE＝ ，∠CEA＝90°．

∴四边形CMAE是矩形．

∴AM＝．

∴PM＝AM．

∴PC＝AC．

∵PC＝PA，

∴△PCA是等边三角形．

∴∠PAC＝60°．

∴∠CAB＝30°．

∴∠COE＝60°．

∴∠COD＝120°．

在Rt△COE中，

sin60°＝ ，

∴OC＝2．

∴S阴影＝π－．

②∵AP=2 ,AH=CE=

∴CH=AH=3

又∵I为正△PAC的内心

∴CI= CH=2

∴IE= = =