Question

18．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为ɑ．
（1）如图1，若ɑ=90°，求AA′的长；
（2）如图2，若ɑ=120°，求点O′的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得AB=5，由旋转性质可得∠A′BA=90°，A′B=AB=5．继而得出AA′=5$\sqrt{2}$；
（2）O′C⊥y轴，由旋转是性质可得：∠O′BO=120°，O′B=OB=3，在Rt△O′CB中，由∠O′BC=60°得BC、O′C的长，继而得出答案．

解答 解：（1）∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA=4，OB=3．
在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=5．
根据题意，△A′BO′是△ABO绕点B逆时针旋转90⁰得到的，
由旋转是性质可得：∠A′BA=90°，A′B=AB=5，
∴AA′=5$\sqrt{2}$．

（2）如图，根据题意，由旋转是性质可得：∠O′BO=120°，O′B=OB=3
过点O′作O′C⊥y轴，垂足为C，

则∠O′CB=90°．
在Rt△O′CB中，由∠O′BC=60°，∠BO′C=30°．
∴BC=$\frac{1}{2}$O′B=$\frac{3}{2}$．
由勾股定理O′C=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴OC=OB+BC=$\frac{9}{2}$．
∴点O′的坐标为（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{2}$）．

点评 本题主要考查旋转的性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．