题目内容

如图甲，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE=
 
；
（2）若∠C-∠B=30°，则∠DAE=
 
；
（3）若∠C-∠B=a（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含a的代数式表示）；
（4）如图乙，当∠C＜∠B时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定：角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负．例如：∠DAE=-18°，则∠EAD=18°，作出上述规定后，上述结论还成立吗？
 
；若∠DAE=-7°，则∠B-∠C=
 
°．
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分析：（1）根据三角形的内角和定理求得∠BAC和∠BAD的度数，根据角平分线定义求得∠BAE的度数，从而求得∠DAE的度数；
（2）根据三角形的内角和定理、角平分线定义可以求得∠DAE=
1
2
（∠C-∠B）；
（3）和（2）的推理过程相同；
（4）和上述推理过程相同．
解答：解：（1）∵B=30°，∠C=70°，AD⊥BC于D，
∴∠BAC=80°，∠BAD=60°．
又AE平分∠BAC，
∴∠BAE=40°．
∴∠DAE=20°；

（2）∵AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，
∴∠DAE=90°-∠AED
=90°-（∠B+∠BAE）
=90°-（∠B+
1
2
∠BAC）
=90°-（∠B+90°-
1
2
∠B-
1
2
∠C）
=
1
2
（∠C-∠B）
=15°；

（3）根据（2）的推理过程，得
∠DAE=
1
2
（∠C-∠B）=
1
2
a；

（4）成立．
根据（2）的推理过程，得
∠DAE=
1
2
（∠C-∠B），
则∠B-∠C=2∠EAD=14°．
点评：此题综合运用了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及角平分线定义．
练习册系列答案
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如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为
 
，数量关系为
 
．
②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
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2
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27、如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为
垂直
，数量关系为
相等
．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
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如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．如果AB=AC，∠BAC=90°．
解答下列问题：
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段CF、BD之间的位置关系为
垂直
垂直
，数量关系为
相等
相等
．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（要求写出证明过程）

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