Question

8．在正方形ABCD中，△DCE是等边三角形．①求∠AED的度数；②若OF=1，求AB的长．

Answer 1

分析 ①根据正方形好等边三角形的性质求出AD=DE，∠ADE=150°，即可得出∠AED的度数；
②先求出∠AFO=∠DFE=60°，在直角三角形中由锐角三角函数求出OA，再根据勾股定理求出AB．

解答 解：①∵在正方形ABCD中，△DCE是等边三角形，
∴AB=AD=CD，CD=DE，∠ADC=90°，∠CDE=60°，BD平分∠ADC，
∴AD=DE，∠ADE=90°+60°=150°，∠BDC=45°，
∴∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-150°）=15°；
②∵∠EDF=60°+45°=105°，∠AED=15°，
∴∠DFE=180°-105°-15°=60°，
∴∠AFO=∠DFE=60°，
∵AC⊥BD，
∴∠AOF=90°，
∴OA=OF•tan60°=$\sqrt{3}$，
∴OB=OA=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{3}$•$\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及锐角三角函数、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的运用；本题难度较大，特别是②中，通过求出60°的锐角解决问题．