Question

如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点.

（1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；
（2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明
理由.

Answer 1

（1）的坐标为（1，m）    两点的坐标为（）、（）
（2）
（3）不存在解析:
解：（1）

抛物线顶点的坐标为（1，m）··················· 2分
抛物线与轴交于两点，
当时，

解得
两点的坐标为（）、（）. ················· 4分
（2）当时，，
点的坐标为.
················ 5分
过点作轴于点，则


=
=
="3m." ····························· 7分
························· 8分
（3）存在使为直角三角形的抛物线.
过点作于点，则为，


在中，
在中，
①如果是，且那么
即
解得，

存在抛物线使得是；········ 10分
②如果是，且那么
即
解得，

存在抛物线，使得是；
③如果是，且，那么
即
整理得此方程无解.
以为直角的直角三角形不存在.
综上所述，存在抛物线和
使得是.························· 12分