Question

12．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=$\frac{2}{3}$，求EM：MF的值．

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角边”证明△AEO和△CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）设OM=x，根据∠MBO的正切值表示出BM，再根据△AOM和△OBM相似，利用相似三角形对应边成比例求出AM，然后根据△AEM和△BFM相似，利用相似三角形对应边成比例求解即可．

解答 （1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形BFDE是平行四边形；

（2）解：设OM=2x，
∵EF⊥AB，tan∠MBO=$\frac{2}{3}$，
∴BM=3x，
又∵AC⊥BD，
∴∠AOM=∠OBM，
∴△AOM∽△OBM，
∴$\frac{AM}{OM}$=$\frac{OM}{BM}$，
∴AM=$\frac{O{M}^{2}}{BM}$=$\frac{4}{3}$x，
∵AD∥BC，
∴△AEM∽△BFM，
∴EM：FM=AM：BM=$\frac{4}{3}$x：3x=4：9．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难点在于（2）两次求出三角形相似．