Question

【题目】已知，如图，点D是等边三角形ABC的外接圆上的一点，过点D作圆的切线，交BC的延长线于F．

（1）用尺规作图，作出等边三角形ABC外接圆的圆心O；

（2）若⊙O的半径为2，∠F＝45°，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）作出AC，BC边上的高所在的直线，两直线交于点O，点O即为所求．

（2）连接DO并延长交BC于G，AO交BC于H，根据CF＝GF﹣GH﹣HC，求出GF，CH，GH即可．

（1）作图点O如图所示．

（2）连接DO并延长交BC于G，设AO交BC于H．

∵点O是△ABC外接圆的圆心，

∴AH是BC的垂直平分线，BO平分∠ABC，OB是⊙O的半径，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠OBH＝30，

∴OH＝OB＝1，

∴在Rt△OBH中，BH＝，

∴CH＝BH＝，

∵DF是⊙O的切线，

∴∠GDF＝90°，

∵∠F＝45°，

∴△DGF，△OGH是等腰直角三角形，

∴GH＝OH＝1，

∴在Rt△OGH中，OG＝，

∴DF＝DG＝DO+GO＝2+，

∴在Rt△DGF中，GF＝，

∴CF＝GF﹣GH﹣HC＝．