题目内容
【题目】正方形
的边长为3，点
，
分别在射线
，
上运动，且
．连接
，作
所在直线于点
，连接
．
（1）如图1，若点是的中点，与
之间的数量关系是______；
（2）如图2，当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点，分别在射线，上运动时，连接
，过点
作直线的垂线，交直线于点
，连接
，求线段长的最大值．
【答案】（1）
；（2）成立，证明见解析；（3）
．
【解析】
（1）如图（见解析），连接BE，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出
，再根据圆周角定理得出
，从而可得
，然后根据角互余得出
，最后根据等腰三角形的定义即可得；
（2）如图（见解析），连接BE，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出
，再根据圆周角定理得出
，从而可得
，然后根据角互余得出
，最后根据等腰三角形的定义即可得；
（3）先根据角互余得出
，再根据四边形的内角和、领补角定义得出
，然后根据三角形全等的判定定理与性质得出
，又根据三角形全等的判定定理与性质得出
，最后根据三角形的三边关系定理即可得．
（1），证明如下：
如图，连接BE
在正方形
中，
，
∵
，
∴
，即
在
和
中，
∴
∴
∵
，
∴
、
两点都在以
为直径的圆上
∴
∴
∵
，
∴
∴
又
∴；
（2）（1）中的结论仍然成立，证明如下：
如图，连接
在正方形中，，
∵，
∴，即
在和中，
∴
∴
∵，
∴、两点都在以为直径的圆上
∴
∴
∵
，
∴
∴
又
∴；
（3）如图，连接
∵
，
∴
∵
又
∴
在
和
中，
∴
∴
在
和
中，
∴
∴
由（2）知，
∴
∵
∴
，
在
中，由三角形的三边关系定理得：
∴当、
、
三点共线时，
的长最大，最大值为
即线段长的最大值是．
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