Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F.

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）若AE=6，CD=5，求OF的长.

Answer 1

解：（1）证明：如答图1，连接AO并延长交⊙O于另一点G，连接CG，

∵AE是⊙O的切线，∴.

∴，即.

∵AO是⊙O的直径，∴.

 ∴.

∴.

∵和是同圆中同弧所对的圆周角，

∴.

∴.

（学习过弦切角定理的直接得此）

∵AB=AC，∴.∴.∴AE∥BC.

又∵AB∥CD，∴四边形ABCE是平行四边形.

（2）如答图2，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB、CD于点N、M，

∵AE是⊙O的切线，

∴根据切割线定理，得，（没学习切割线定理可由相似得到）

∵ AE=6，CD=5，∴，解得（已舍去负数）.

由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且.

又根据对称性和垂径定理，知垂直平分，垂直平分.

设，

∵

∴.

易证，

∴.

两式相加和相除，得.

又∵，∴.

∴OF的长为.

‘

【考点】切线的性质；圆周勾股定理；等腰三角形的性质；平行的判定；平行四边形的判定和性质；等腰梯形的判定和性质；垂径定理；相似判定和性质；勾股定理.

【分析】（1）作辅助线，连接AO并延长交⊙O于另一点G，连接CG，根据切线的性质证明，根据等腰三角形等边对等角的性质和等量代换得到，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到AE∥BC，结合已知AB∥CD即可判定四边形ABCE是平行四边形.

（2）作辅助线，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB、CD于点N、M，根据切割线定理求得，证明四边形ABDC是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理和垂径定理的综合应用证明，并由勾股定理列式求角即可.