Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，其中点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点；

①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，过点Q作QD∥y轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）点B的坐标为（1，0）；（2）①点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5），②

【解析】

（1）由抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；

（2）①a＝1时，先由对称轴为直线x＝﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC＝4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；

②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．

（1）∵对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，

∴A、B两点关于直线x＝﹣1对称，

∵点A的坐标为（﹣3，0），

∴点B的坐标为（1，0）；

（2）①∵a＝1时，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，

∴＝﹣1，解得b＝2．

将B（1，0）代入y＝x2+2x+c，

得1+2+c＝0，解得c＝﹣3．

则二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，

∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3．

设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），

∵S△POC＝4S△BOC，

∴×3×|x|＝4××3×1，

∴|x|＝4，x＝±4．

当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21；

当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5．

∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）．

②设直线AC的解析式为y＝kx+t （k≠0）将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，

得 ，解得 ，

即直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．

设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），

QD＝（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，

∴当x＝﹣时，QD有最大值．