题目内容
如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E。
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由。
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由。
解：（1）∵AB∥CD，AE∥AD，
由∵CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAE=∠CAD，
又∵AD∥CE，
∴∠ACE=∠CAD，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=CE，
∴四边形AECD是菱形；
（2）∵E是AB中点，
∴AE=BE，
又∵AE=CE，
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，
∴BE=CE，
∴∠B=∠BCE，
∴2∠BCE+2∠ACE=180°，
∴∠BCE+∠ACE=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形。
由∵CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAE=∠CAD，
又∵AD∥CE，
∴∠ACE=∠CAD，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=CE，
∴四边形AECD是菱形；
（2）∵E是AB中点，
∴AE=BE，
又∵AE=CE，
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，
∴BE=CE，
∴∠B=∠BCE，
∴2∠BCE+2∠ACE=180°，
∴∠BCE+∠ACE=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形。
练习册系列答案
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