Question

【题目】在中，，，，，分别交直线、于点、．

（1）如图1，当时，求证：；

（2）如图2，当时，线段、、之间有何数量关系，证明你的结论；

（3）如图3，当时，旋转，问线段之间、、有何数量关系？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），证明见解析

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，，然后利用ASA证出，从而证出结论；

（2）过作，，连接AO，证出，AO平分∠BAC，，从而得出OE=OF，BE=OE，将△ONF逆时针旋转，使OF和OE重合，点N落在点G处，利用SAS即可证出△MOG≌△MON，得出MN =GM，再结合正方形的性质和等量代换即可得出结论；

（3）在上截取，连接，先利用SAS证出，从而得出，，再利用SAS证出，最后利用等量代换即可得出结论．

证明：（1）∵，，，

∴，，

∵，

∴∠AOM＋∠AON=90°，∠CON＋∠AON=90°

∴

在△AOM和△CON中

∴，

∴

（2）、、之间的数量关系是：

过作，，连接AO

∴四边形为矩形

∵，，

∴，AO平分∠BAC，

∴OE=OF，BE=OE

∴四边形为正方形，

∵

将△ONF逆时针旋转，使OF和OE重合，点N落在点G处

∴∠MOG=∠EOM＋∠NOF=90°－∠MON=45°=，OG=ON，GE=FN

在△MOG和△MON中

∴△MOG≌△MON

∴MN =GM=EM＋GE=

∴

而

∴

（3）

在上截取，连接

∵，，，

∴，，

在△BOM和△AOE中

∴，

∴，

∵，

∴

即，

在△MON和△EON中

∴

∴