Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线DE经过点C，且AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，
（1）当直线DE的位置如图1所示时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．
（2）当直线DE的位置如图2所示时，求证：DE=AD-BE．

Answer 1

（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．

（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中
∵，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
分析：（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
②由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．
点评：本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．