Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP＝，∠A＝30º．

(1)求劣弧的长；
(2)若∠ABD＝120º，BD＝1，求证：CD是⊙O的切线．

Answer 1

（1） （2）要证明切线，即证明其与圆的直径成直角，利用全等三角形，可以求出对应角相等，进而证明出直角.

试题分析：（1）延长OP交AC于E，
∵P是△OAC的重心，，
∴，                   
且 E是AC的中点.，∵，∴OE⊥AC.
在Rt△OAE中，∵，，∴∴         
∴. ∴
（2）证明：连结BC.
∵E、O分别是线段AC、AB的中点，
∴BC∥OE，且BC＝2OE＝2＝OB＝OC. 
∴△OBC是等边三角形. ∴∠OBC＝60°.
∵∠OBD＝120°，∴∠CBD＝60°＝∠AOE.
∵ BD＝1＝OE，BC＝OA，∴△OAE ≌△BCD. 
∴∠BCD＝30°. ∵∠OCB＝60°， ∴∠OCD＝90°.
∴CD是⊙O的切线.
点评：题目难度一般，利用重心，可以知道线段为分段，学生可以尝试多做此类题目，一般来讲证明切线的题万变不离其宗