Question

【题目】如图，已知二次函数 y＝ax2+bx 的图象与 x 轴交于点 O（0，0）和 点 B，抛物线的对称轴是直线 x＝3．点 A 是抛物线在第一象限上的一个动点， 过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C．S△AOB＝3S△ABC，AC2＝OCBC．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M．连接 AM，点 N 是线段 OA 上的一点．当 ∠AMN＝∠AOM 时，求点 N 的坐标；

（3）点 P 是抛物线上的一个动点．点 Q 是 y 轴上的一动点．当以 A，B，P，Q 四个点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点 P 坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝； （2）；（3）点 P 为（2，﹣2）或（﹣2，4）或（14，28）时以 A，B，P，Q 四个点为顶点 的四边形为平行四边形．

【解析】

（1）根据二次函数的对称性以及对称轴可以确定点B的坐标，然后结合题目中给到的面积关系求出,从而确定,根据求出便可以确定点的坐标，把点和点代入二次函数解析式联立方程组便可求解；

（2）利用可以证明，结合相似的性质可以得到,而可以用勾股定理求出，可以用两点间的距离公式求出，从而解出,由于在正比例函数上，所以可以求出直线的解析式，设出的坐标，利用两点间的距离公式表示出，最后解出点的坐标；

（3）根据已知边进行分类讨论，可能是平行四边形的对角线，也可能是四边形的边，然后再根据平行四边形的性质特点，即对角线交点即为对角线的中点，分别解出每种情况下点的坐标；

（1） 函数对称轴为，且与轴交于

,则

又

点的坐标为：

将点，代入，解得：，

二次函数的解析式为：

（2） 抛物线的对称轴与轴交于点,

又

又

设直线的解析式为，把代入得：

解得：

直线的解析式为

设，

解得：（不合题意，舍去）

当时，

（3）设

①当为平行四边形的边时，分为以下两种情况：

i：四边形为平行四边形，和为对角线，

此时的中点横坐标为3，的中点横坐标为

解得：

ii: 四边形为平行四边形，和为对角线

此时的中点横坐标为4，的中点横坐标为

解得：

②当为平行四边形的对角线时，也为对角线

此时的中点横坐标为7，的中点横坐标为

解得：

综上所述，当以 A，B，P，Q 四个点为顶点的四边形为平行四边形时，点 P的坐标可能是：（2，﹣2）或（﹣2，4）或（14，28）；