Question

如图，点E为矩形ABCD外一点，DE⊥BD于点D，DE=CE，BD的垂直平分线交AD于点F，交BD于点G．连接EF交BD于点H．
（1）若∠CDE=∠DEH=

1

2

∠HEC，求∠ABG的度数；
（2）求证：H是EF的中点．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）设∠CDE=x°，则∠CDE=∠DCE=x°，∠DEH=x°，∠HEC=2x°，根据∠CDE+∠DEC+∠DCE=180°得出5x=180°，求出x即可；
（2）连接AC，GE，求出GD=GC，得出在CD的垂直平分线上，E在CD的垂直平分线上，推出GE为CD的垂直平分线，求出DM=CM，求出FD∥GE，FG∥DE，求出四边形FDEG是平行四边形，根据平行四边形性质推出即可．

解答：（1）解：设∠CDE=x°，
∵DE=CE，
∴∠CDE=∠DCE=x°，
∵∠CDE=∠DEH=

1

2

∠HEC，
∴∠deh=x°，∠HEC=2x°，
∵∠CDE+∠DEC+∠DCE=180°，
∴5x=180°，
x=36°，
∵DE⊥BD，
∴∠EDB=90°，
∴∠BDC=90°-36°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABG=∠BDC=54°；

（2）证明：
连接AC，GE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AG=GC，BG=GD，
∴GD=GC，
∴G在CD的垂直平分线上，
∵DE=CE，
∴E在CD的垂直平分线上，
∴GE为CD的垂直平分线，
∴DM=CM，
∵BG=DG，
∴GM∥BC，
∴∠DGE=∠DBC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DBC=∠FDG，
∴∠DGE=∠FDG，
∴FD∥GE，
∵FG⊥BD，DE⊥BD，
∴FG∥DE，
∴四边形FDEG是平行四边形，
∴H为EF的中点．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．