Question

如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为A（

3

，0），矩形BCOG的顶点B、C坐标为B(4

3

，3)，C（0，3），连接AB．动点D以每秒1个单位的速度从点C出发沿CO向终点O运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动，过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接AD、DE、EF，设运动时间为t秒．
（1）用t的代数式表示线段BE、DF的长．
（2）求证四边形ADFE为平行四边形，并探索在整个运动过程中，是否存在t使四边形ADFE为菱形？若存在，请求出t的值，若不存在请说明理由．
（3）探索当t为何值时，△BEF与以D，E，F为顶点的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）先根据四边形BCOG是矩形，A（

3

，0），B（4

3

，2）求出AG、BG及AB的长，由平行线的性质求出∠CFD=∠CBA=30°，再由直角三角形的性质得出DF的长，再由动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向点B运动即可求出BE的长；
（2）先由DF∥AB，DF=AE=2t，可得出四边形ADEF是平行四边形，若平行四边形ADEF是菱形，则DF=AD，在Rt△AOD中，利用勾股定理可得出AD²=OD²+OA²，进而可得出t的值；
（3）由DF∥AB，可得出∠BEF=∠DFE，由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论：
①当∠BFE=∠DEF时，则△BEF∽△DFE，此时DE∥BC，即四边形DEBF是平行四边形，DF=BE，由此可得出t的值；
②当∠BFE=∠FDE时，则△BEF∽△EFD，由相似三角形的性质可得

BE

EF

=

EF

DF

，即EF²=DF×BE，由四边形ADFE是平行四边形，即EF=AD，在△AOD中利用勾股定理即可求出t的值．

解答：（1）解：∵四边形BCOG是矩形，A（

3

，0），B（4

3

，3），
∴AG=4

3

-

3

=3

3

，BG=3，
∴AB=

AG2+BG2

=

(3 3 )2+32

=6，
∴∠BAG=30°，
∵BC∥OG，
∴∠CBA=∠BAG=30°，
∵DF∥AB，
∴∠CFD=∠CBA=30°，
∵△CDF是直角三角形，
∴DF=2CD=2t，
∵动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向点B运动，
∴AE=2t，
∴BE=6-2t；

（2）证明：∵DF∥AB，DF=AE=2t，
∴四边形ADEF是平行四边形，
若平行四边形ADEF是菱形，则DF=AD，
在Rt△AOD中，AD²=OD²+OA²，即（2t）²=（3-t）²+（

3

）²，
解得t=±

5

-1（负值舍去），
∴t=

5

-1；

（3）解：∵DF∥AB，
∴∠BEF=∠DFE．
分两种情况：
①当∠BFE=∠DEF时，则△BEF∽△DFE，此时DE∥BC，即四边形DEBF是平行四边形，
∴DF=BE，而DF=2t，BE=6-2t，
∴2t=6-2t，解得t=

3

2

；
②当∠BFE=∠FDE时，则△BEF∽△EFD，
∴

BE

EF

=

EF

DF

，即EF²=DF×BE，
∵四边形ADEF是平行四边形，即EF=AD，
∴AD²=OD²+OA²，
∴（3-t）²+（

3

）²=2t×（6-2t），解得t=

9± 21

5

综上所述，t=

3

2

或t=

9± 21

5

．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质及矩形的性质，菱形的判定与性质，在解答（3）时要注意分类讨论，不要漏解．