题目内容

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点A开始沿AC向点C以每秒2厘米的速度运动，精英家教网同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒1厘米的速度运动．设运动的时间为t秒（0＜t＜5），△PQC的面积为Scm2．
（1）求S与t之间函数关系式．
（2）当t为何值时，△PQC的面积最大，最大面积是多少？
（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能否为直角三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
分析：（1）根据勾股定理求出AC的长，过Q点作QE⊥AC于E点，得到△QEC∽△ABC，推出比例式
QE
AB
=
CQ
AC
，代入即可求出QE的值，代入三角形的面积公式即可得到答案；
（2）把（1）的解析式化成顶点式即可得到答案；
（3）分两种情况：①当∠PQC=90°时，由相似得到比利式即可求出t的值；②当∠CPQ=90°时，同法可求出t的值，即可得到答案．
解答：精英家教网解：（1）∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
∴根据勾股定理得：AC=10cm，
又∵运动的时间为t秒（0＜t＜5），
∴AP=2tcm，CQ=tcm，
CP=（10-2t）cm．
过Q点作QE⊥AC于E点．
∵∠QEC=∠B=90°，∠ACB=∠ACB，
∴△QEC∽△ABC，
∴
QE
AB
=
CQ
CA
，
∴
QE
6
=
t
10
，∴QE=
3
5
t
∴S与t之间的函数关系式为：
S=
1
2
PC•QE=
1
2
（10-2t）•
3
5
t=-
3
5
t2+3t．
答：S与t之间函数关系式是S=-
3
5
t2+3t．精英家教网

（2）解：∵S=-
3
5
(t-
5
2
)2+
15
4
，
∴t=
5
2
s时，△PQC的面积最大，最大面积是
15
4
cm2，
答：当t为
5
2
s时，△PQC的面积最大，最大面积是
15
4
cm2．

（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形．
分两种情况：精英家教网
①当∠PQC=90°时，
∵△CPQ∽△CAB，
∴
CQ
CB
=
CP
CA

∴
10-2t
10
=
t
8
，
解得t=
40
13
＜5符合题意．
②当∠CPQ=90°时，
∵△CPQ∽△CBA，
∴
CP
CB
=
CQ
CA
，
∴
10-2t
8
=
t
10
，
解得t=
25
7
＜5符合题意．
综合上述，在P、Q的移动过程中，
当
40
13
s或
25
7
s时，△PQC能为直角三角形．答：在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形，此时t的值是
40
13
s或
25
7
s．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，二次函数的最值等知识点，解此题的关键是利用相似得到比例式进而得到方程．题型较好，有一定的难度，综合性比较强．分类讨论思想的运用．
练习册系列答案
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A、精英家教网B、精英家教网C、精英家教网D、精英家教网
如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE精英家教网．
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（2）若AB=
2
，BC=2，求⊙O的半径．
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