Question

如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，AF、BG分别是△ABC中∠BAC，∠ABC的角平分线，∠C=50°，给出如下四个结论：
①∠3=50°，②∠4=115°，③∠1=∠2，④

AC

BC

=

AD

BE

，
其中正确的结论是（　　）

A．①②③④

B．②③④

C．①③④

D．①②④

Answer 1

分析：求出∠ADC=∠BEC=90°，根据四边形内角和定理求出∠DOE，即可求出∠3，求出∠CAB+∠ABC，求出

1

2

（∠CAB+ABC），根据三角形内角和定理即可求出∠4；求出∠CAD=∠CBE=40°，求出∠1=

1

2

∠CAB-40°，∠2=

1

2

∠ABC-40°，即可判断③；根据三角形面积公式即可判断④．

解答：解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠DOE=360°-90°-90°-50°=130°，
∴∠3=180°-130°=50°，∴①正确；
∵∠C=50°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-50°=130°，
∵AF、BG分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠FAB=

1

2

∠CAB，∠ABG=

1

2

∠ABC，
∴∠FAB+∠ABG=

1

2

（∠CAB+∠ABC）=

1

2

×130°=65°，
∴∠4=180°-（∠ABG+∠BAF）=180°-65°=115°，∴②正确；
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEO=∠BDO=90°，
∵∠3=∠BOD=50°，
∴∠CBE=∠CAD=90°-50°=40°，
∵BG、AF分别平分∠CAB、∠ABC，
∴∠CAF=

1

2

∠CAB，∠CBG=

1

2

∠CBA，
∴∠2=

1

2

∠CBA-∠CBE=

1

2

∠CBA-40°，
同理∠1=

1

2

∠BAC-40°，
∵根据已知不能推出∠CAB=∠ABC，
∴不能推出∠1=∠2，∴③错误；
在△ABC中，由三角形面积公式得：

1

2

BC×AD=

1

2

AC×BE，
∴

AC

BC

=

AD

BE

，∴④正确；
故选D．

点评：本题考查三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，有一定的难度．