Question

【题目】阅读，我们可以用换元法解简单的高次方程，解方程x4﹣3x2+2＝0时，可设y＝x2，则原方程可比为y2+3y+2＝0，解之得y1＝2，y2＝1，当y1＝2时，则x2＝2，即x1＝，x2＝﹣；当y2＝1时，即x2＝1，则x1＝1，x2＝﹣1，故原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝1，x4＝﹣1，仿照上面完成下面解答：

(1)已知方程(2x2+1)2+2x2﹣3＝0，设y＝2x2+1，则原方程可化为_______.

(2)仿照上述解法解方程：(x2﹣2x)2﹣3x2+6x＝0.

Answer 1

【答案】(1)y2+y﹣4＝0；(2)x＝2或x=0或x＝﹣1或x=3.

【解析】

（1）利用完全平方公式可把原式变为(2x2+1)2+2x2+1﹣4＝(2x2+1)2+(2x2+1)﹣4，然后用y代替式子中的2x2+1．

（2）(x2﹣2x)2﹣3x2+6x＝0即(x2﹣2x)2﹣3(x2﹣2x)＝0．可以把x2﹣2x当作整体，设x2﹣2x＝y，原方程即可变形为关于y的方程，即可求得y的值，因而求得x的值．

（1）设y＝2x2+1，

则原方程左边＝(2x2+1)2+(2x2+1)﹣4＝y2+y﹣4．

∴原方程可化为y2+y﹣4＝0．

故答案为：y2+y﹣4＝0．

（2）设x2﹣2x＝y，

则原式左边＝(x2﹣2x)2﹣3(x2﹣2x)＝y2﹣3y；

∴y2﹣3y＝0，

∴y(y﹣3)＝0，

∴y＝0或3．

当y＝0时，则x2﹣2x＝0，

∴x(x﹣2)＝0，

∴x＝2或0；

当y＝3时，则x2﹣2x＝3，

∴x2﹣2x﹣3＝0，

解得x＝﹣1或3．

故方程的解为x＝3或x＝2或x＝0或x＝﹣1．