题目内容

如图，已知抛物线y=a（x-1）²+3 $数学公式$ （a≠0）经过点A（-2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？
（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

解：（1）∵抛物线y=a（x-1）²+3 $\text{[math]}$ （a≠0）经过点A（-2，0），
∴0=9a+3 $\text{[math]}$ ，
∴a=- $\text{[math]}$
∴二次函数的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；

（2）①∵D为抛物线的顶点，
∴D（1，3 $\text{[math]}$ ），
过D作DN⊥OB于N，则DN=3 $\text{[math]}$ ，AN=3，
∴AD= $\text{[math]}$ =6，
∴∠DAO=60°．
∵OM∥AD，

①当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，
∴OP=6，
∴t=6（s）．
②当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，
过O作OH⊥AD于H，AO=2，则AH=1（如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）
∴OP=DH=5，t=5（s）
③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，
易证：△AOH≌△DPP′，
∴AH=CP，
∴OP=AD-2AH=6-2=4，
∴t=4（s）综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；

（3）由（2）及已知，∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等边三角形则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，
∴OQ=6-2t（0＜t＜3）过P作PE⊥OQ于E，
则PE= $\text{[math]}$ t
∴S_BCPQ= $\text{[math]}$ ×6×3 $\text{[math]}$ ×（6-2t）× $\text{[math]}$ t
= $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
当t= $\text{[math]}$ 时，四边形BCPQ的面积最小值为 $\text{[math]}$ ．
∴此时OQ=3，OP= $\text{[math]}$ ，OE= $\text{[math]}$ ；
∴QE=3- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，PE= $\text{[math]}$ ，
∴PQ= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将A的坐标代入抛物线y=a（x-1）²+3 $\text{[math]}$ （a≠0）可得a的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）易得D的坐标，过D作DN⊥OB于N；进而可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；
（3）根据（2）的结论，易得△OCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长．
点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．