Question

【题目】如图，在中，，点在上，以线段的长为半径的与相切于点，分别交、于点、，连接并延长交延长线于点．

（1）求证：；

（2）已知的半径为5．

①若，则__________；

②连接，当__________时，四边形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①，②5．

【解析】

（1）由AD是的切线推出，证得，推出∠OND,利用三角形的外角性质即可得出结论；

（2）①由勾股定理求出AD的长，再利用ΔAOD∽ΔABC相似，即可求得CD的长；

②连接DM,OM,由菱形的性质得DM的长，进而求得MC,BC的长度，再利用ΔAOD∽ΔABC相似即可求得AN的长.

（1）证明：∵是的切线，∴，

∴，∴，

∴．

又∵，∴．

∴．

∴．

（2）①在RtΔAOD中，OD=5,OA=ON+AN=8+5=13,

∴AD==,

∵，

∴ΔAOD∽ΔABC，

∴即,

∴CD=;

②如图，连接OM,DM

当四边形OBMD为菱形时，DM=BM=OB=OD=5

∵OM=5

∴ΔOMD是等边三角形，

∴∠ODM=60,

∴∠CDM=90-∠ODM=30,

在RtΔMCD中，MC=DM=,

∴BC=BM+MC=5+=,

由①ΔAOD∽ΔABC得,

即,

∴AN=5,

当AN=5时，当四边形OBMD为菱形.