Question

（2010•朝阳区一模）请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．?
李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．?

Answer 1

【答案】分析：（1）参照题目给出的解题思路，可将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，根据旋转的性质知：
△BPC≌△BP′A，进而可判断出△BPP′是等腰直角三角形，可得∠BP′P=45°；然后根据AP′、PP′、PA的长，利用勾股定理得到△APP′是直角三角形的结论，可得∠AP′P=90°，即可求得∠BP′A的度数，进而可得∠BPC的度数．
（2）过B作AP′的垂线，交AP′的延长线于E，易知△BEP′是等腰直角三角形，即可得到P′E、BE的长，进而可在Rt△ABE中，利用勾股定理求得正方形的边长．
解答：解：（1）如图，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′=；
连接PP′，
在Rt△BP′P中，
∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，
∴PP′=2，∠BP′P=45°；（2分）
在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，
∵，即AP′²+PP′²=AP²；
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，
∴∠AP′B=135°，
∴∠BPC=∠AP′B=135°．（4分）

（2）过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B=45°，
∴EP′=BE=1，
∴AE=2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=；（7分）
∴∠BPC=135°，正方形边长为．
点评：此题主要考查了正方形的性质、图形的旋转变换、勾股定理以及全等三角形等知识的综合应用，由于题目给出了解题的思路使得此题的难度降低，但是题中辅助线的作法应该牢记．