Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，点D在BC边上，且∠CAD=∠B．
（1）求AD的长．
（2）取AD、AB的中点E、F，连接CE、CF、EF，求证：△CEF∽△ADB．

Answer 1

分析：（1）小题是先证明△ACB 和△DCA相似，求出DC的长度，再利用勾股定理即可求出AD；
（2）小题根据直角三角形斜边上的中线和三角形的中位线的性质推出三边对应成比例即可证出△CEF和△ADB相似．

解答：（1）解：∵∠ACB=∠DCA=90°，∠CAD=∠B，
∴△ACB∽△DCA，
∴

AC

DC

=

CB

CA

，
∵AC=2，CB=4，
∴DC=1，
在Rt△ACD中，DC²+AC²=AD²，
∴AD=

5

，
答案为：AD的长是

5

．

（2）证明：∵E，F分别是AD，AB中点，
∴EF=

1

2

DB，即

EF

DB

=

1

2

，
在Rt△ACD中，E是AD中点
∴CE=

1

2

AD，
即

CE

AD

=

1

2

，
∵F为AB中点，∠ACB=90°，
∴CF=

1

2

AB，
即

CF

AB

=

1

2

，
∴

EF

DB

=

CE

AD

=

CF

AB

，
∴△CEF∽△ADB．

点评：（1）小题主要考查对相似三角形的性质的理解和掌握，突破点是由相似得到正确的比例式；（2）小题的难点是找证两三角形相似的条件．难度适中，题型较好．