题目内容
如图1，已知⊙O的半径为2，点A的坐标为（-4，0），点B为⊙O上的动点，以AB为边向外做正方形ABCD．
（1）当点B在y轴的正半轴上时，如图2，求点C的坐标．
（2）当直线AB与⊙O相切时，求直线AB的解析式．
（3）设动点B的横坐标为m，正方形ABCD的面积为S，求出S与m的函数关系式，并判断正方形ABCD的面积是否存在最大值或最小值？如果存在，求出m的值，如果不存在，试说明理由．
（1）当点B在y轴的正半轴上时，如图2，求点C的坐标．
（2）当直线AB与⊙O相切时，求直线AB的解析式．
（3）设动点B的横坐标为m，正方形ABCD的面积为S，求出S与m的函数关系式，并判断正方形ABCD的面积是否存在最大值或最小值？如果存在，求出m的值，如果不存在，试说明理由．
分析：（1）如图2，过点C作CE⊥y轴于点E，构建全等三角形（△ABO≌△BCE），根据全等三角形的对应边相等证得OB=EC=2，OA=EB=4，则OE=OB+EB=6，所以C（-2，6）；
（2）如图3，连接OB，过点B作BD⊥OA于点D．利用切线的性质证得∠ABO=90°．通过解直角△ABO和直角△ABD可以求得点B的坐标是B（-1，
）．然后把点A、B的坐标分别代入直线AB的方程
y=kx+b（k≠0），列出关于k、b数的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）理由勾股定理求得AB2=AD2+BD2=（4+m）2+4-m2=8m+20．即S=8m+20．所以结合图形可知-2≤m≤2，则4≤S≤36．即当m=2时，S最大值=36；当m=-2时，S最小值=4．
（2）如图3，连接OB，过点B作BD⊥OA于点D．利用切线的性质证得∠ABO=90°．通过解直角△ABO和直角△ABD可以求得点B的坐标是B（-1，
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y=kx+b（k≠0），列出关于k、b数的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）理由勾股定理求得AB2=AD2+BD2=（4+m）2+4-m2=8m+20．即S=8m+20．所以结合图形可知-2≤m≤2，则4≤S≤36．即当m=2时，S最大值=36；当m=-2时，S最小值=4．
解答：
解：（1）如图2，∵⊙O的半径为2，点A的坐标为（-4，0），四边形ABCD是正方形，
∴OA=4，OB=2，AB=BC，∠ABC=90°．
过点C作CE⊥y轴于点E，则∠1=∠2（同脚的余角相等）．
∵在△ABO与△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（ASA），
∴OB=EC=2，OA=EB=4，
∴OE=OB+EB=2+4=6，
∴C（-2，6）；
（2）如图3，连接OB，过点B作BD⊥OA于点D．
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO=90°．
∵OB=2，OA=4，
∴OB=
OA，
∴∠BAO=30°，
∴AB=2
，
∴BD=
，AD=3，则OD=OA-AD=1，
∴B（-1，
）．
设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0）．把A（-4，0），B（-1，
）代入，得
，
解得，
，
∴直线AB的解析式为：y=
x+
．
∵直线AB′与直线AB关于x轴对称，
∴直线AB′的解析式为：y=-
x-
．
综上所述，满足条件的直线AB的方程为y=
x+
或y=-
x-
；
（3）正方形ABCD的面积存在最大值或最小值．理由如下：
如图3，在直角△OBD中，OB=2，OD=|m|，则根据勾股定理求得BD2=OB2-OD2=4-m2．
在直角△ABD中，根据勾股定理，得到AB2=AD2+BD2=（4+m）2+4-m2=8m+20．即S=8m+20．
∵-2≤m≤2，
∴4≤S≤36．即当m=2时，S最大值=36；当m=-2时，S最小值=4．
综上所述，S与m的函数关系式是S=8m+20，当m=2时，S最大值=36；当m=-2时，S最小值=4．
解：（1）如图2，∵⊙O的半径为2，点A的坐标为（-4，0），四边形ABCD是正方形，∴OA=4，OB=2，AB=BC，∠ABC=90°．
过点C作CE⊥y轴于点E，则∠1=∠2（同脚的余角相等）．
∵在△ABO与△BCE中，
|
∴△ABO≌△BCE（ASA），
∴OB=EC=2，OA=EB=4，
∴OE=OB+EB=2+4=6，
∴C（-2，6）；
（2）如图3，连接OB，过点B作BD⊥OA于点D．
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO=90°．
∵OB=2，OA=4，
∴OB=
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∴∠BAO=30°，
∴AB=2
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∴BD=
| 3 |
∴B（-1，
| 3 |
设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0）．把A（-4，0），B（-1，
| 3 |
|
解得，
|
∴直线AB的解析式为：y=
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| 3 |
4
| ||
| 3 |
∵直线AB′与直线AB关于x轴对称，
∴直线AB′的解析式为：y=-
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| 3 |
4
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| 3 |
综上所述，满足条件的直线AB的方程为y=
| ||
| 3 |
4
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| 3 |
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
（3）正方形ABCD的面积存在最大值或最小值．理由如下：
如图3，在直角△OBD中，OB=2，OD=|m|，则根据勾股定理求得BD2=OB2-OD2=4-m2．
在直角△ABD中，根据勾股定理，得到AB2=AD2+BD2=（4+m）2+4-m2=8m+20．即S=8m+20．
∵-2≤m≤2，
∴4≤S≤36．即当m=2时，S最大值=36；当m=-2时，S最小值=4．
综上所述，S与m的函数关系式是S=8m+20，当m=2时，S最大值=36；当m=-2时，S最小值=4．
点评：本题综合考查了圆的切线的性质，待定系数法求一次函数解析式，正方形面积的求法等知识点．解题时，充分体现了“数学结合”数学思想的优势，使抽象的问题变得形象化，降低了题的难度与梯度．
练习册系列答案
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