题目内容
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，AC=12厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒是k厘米；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；
（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求k的值和y2与x的函数关系；
（3）在图2中，设y1与y2的图象的交点为M，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6），过G作EF垂直于x轴，分别与y1、y2的图象交于点E、F．求△OMF面积的最大值．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
②求△OMF面积的最大值．
【答案】分析：（1）直接根据三角形的面积公式可得y1=
x；
（2）先设y2=
x（12-kx）=-
x2+6x，把x=12时，y2=12代入解析式可求得k=
，即y2=-
x2+6x；
（3）①线段是长EF=y2-y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ的面积），由
x=-
x2+6x得点M（6，9），过点M做MH⊥EF于点H，则S△OMF=S△OEF+S△MEF=3EF=3（-
x2+6x-
x）=
（x-3）2+
，所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为
．
解答：
解：（1）y1=
x
画图正确（2分）
（2）y2=
x（12-kx）=-
x2+6x （4分）
由题设：当x=4时，y2=12，
所以-8k+24=12，
解得k=
（5分）
从而y2=-
x2+6x （6分）
（3）①线段是长EF=y2-y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ的面积）（7分）
②解法一：由
x=-
x2+6x
得点M（6，9）
过点M做MH⊥EF于点H，则S△OMF=S△OEF+S△MEF=
EF．
OG+
EF．MH=
EF×6=3EF（9分）
=3（-
x2+6x-
x）=
（x-3）2+
（10分）
所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为
（12分）
解法二：由
x=-
x2+6x得点M（6，9）
过点M做MH⊥x轴于点N，则
S△OMF=S四边形ONMF-S△ONM=S△OGF+S梯形FGNM-S△ONM（9分）
=-
x2+
x （10分）
所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为
．（12分）
点评：本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要利用三角形的性质和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，利用图形间的“和差“关系求解．
x；（2）先设y2=
x（12-kx）=-x2+6x，把x=12时，y2=12代入解析式可求得k=，即y2=-x2+6x；（3）①线段是长EF=y2-y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ的面积），由
x=-x2+6x得点M（6，9），过点M做MH⊥EF于点H，则S△OMF=S△OEF+S△MEF=3EF=3（-x2+6x-x）=（x-3）2+，所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为．解答：
解：（1）y1=x画图正确（2分）
（2）y2=
x（12-kx）=-x2+6x （4分）由题设：当x=4时，y2=12，
所以-8k+24=12，
解得k=
（5分）从而y2=-
x2+6x （6分）（3）①线段是长EF=y2-y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ的面积）（7分）
②解法一：由
x=-x2+6x得点M（6，9）
过点M做MH⊥EF于点H，则S△OMF=S△OEF+S△MEF=
EF．OG+
EF．MH=EF×6=3EF（9分）=3（-
x2+6x-x）=（x-3）2+（10分）所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为
（12分）解法二：由
x=-x2+6x得点M（6，9）过点M做MH⊥x轴于点N，则
S△OMF=S四边形ONMF-S△ONM=S△OGF+S梯形FGNM-S△ONM（9分）
=-
x2+x （10分）所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为
．（12分）点评：本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要利用三角形的性质和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，利用图形间的“和差“关系求解．
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