Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．问：线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求出AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：由于以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似时的对应点不能确定，故应分两种情况讨论．

解答：解：存在．
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
当△PAD∽△PBC时，

PA

PB

=

AD

BC

∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴AP=

14

5

①；
当△ADP∽△BPC时，

AP

BC

=

AD

BP

∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=1或PA=6②；
由①②可知，P点距离A点有三个位置：PA=

14

5

；PA=1或PA=6．

点评：本题考查的是相似三角形的判定，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．