Question

如图，直线y=ax+3与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y=

k

x

交于C、D两点，若△DOB的面积为2，则△AOC的面积为

 

．

Answer 1

分析：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁y₁=x₂y₂=k，联立直线与双曲线解析式得ax²+3x-k=0，可知x₁•x₂=-

k

a

=-

x2 •y2

a

，可得y₂=-ax₁，由直线y=ax+3得OA=3，OB=-

3

a

，则S_△AOC=

1

2

×3×x₁，S_△BOD=

1

2

×（-

3

a

）×y₂=

1

2

×（-

3

a

）×（-ax₁），比较S_△AOC与S_△BOD的大小即可．

解答：解：如图，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵C、D两点在双曲线y=

k

x

上，
∴x₁y₁=x₂y₂=k，
联立

y=ax+3 y= k x

，得ax²+3x-k=0，
由根与系数关系，得x₁•x₂=-

k

a

=-

x2 •y2

a

，
解得y₂=-ax₁，
∵A、B两点是直线y=ax+3与坐标轴的交点，
∴OA=3，OB=-

3

a

，
∴S_△AOC=

1

2

×3×x₁=

3

2

x₁，
S_△BOD=

1

2

×（-

3

a

）×y₂=

1

2

×（-

3

a

）×（-ax₁）=

3

2

x₁，
∴S_△AOC=S_△BOD=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据双曲线上点的坐标特点，根与系数关系，三角形面积的表示方法，通过代数变形，得出已知三角形与所求三角形的面积关系．