Question

16．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别是⊙O的切线，切点分别为A，C，连接BC、BP、OP．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若AB=AP，求tan∠BPC的值．

Answer 1

分析 （1）根据垂直平分线的性质和切线的性质证明即可；
（2）首先证明△ABC≌△PAF，设BC=AF=CF=a，则AC=PF=2a，AB=AP=PC=$\sqrt{5}$a，由BC∥OP，得$\frac{BC}{PO}$=$\frac{CE}{OE}$=$\frac{a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{2}{5}$，求出CE，根据tan∠BPC=$\frac{EC}{PC}$，即可解决问题．

解答 （1）证明：连接AC交OP于F，连接OC．
∵PA，PC是圆的切线，
∴PA=PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
∵OA=OC，
∴点O在AC的垂直平分线上，
∴PO垂直平分AC．
∴∠OFA=90°．
∵BC是直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠OFA=∠ACB．
∴BC∥OP；
（2）解：∵PA，PC分别是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OC⊥PC，
∴∠BAP=∠OCP=90°，
∵AB=AP，
∴∠OBE=45°，
在△ABC和△PAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCA=∠AFB}\\{∠BAC=∠APF}\\{AB=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△PAF，
∴BC=AF=CF，AC=PF，设BC=AF=CF=a，则AC=PF=2a，AB=AP=PC=$\sqrt{5}$a，
∴OA=OC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，OP=$\sqrt{A{P}^{2}+O{A}^{2}}$=$\frac{5}{2}$a，
∵BC∥OP，
∴$\frac{BC}{PO}$=$\frac{CE}{OE}$=$\frac{a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{2}{5}$，
∴CE=$\frac{2}{7}$OC=$\frac{\sqrt{5}}{7}$a，
∴tan∠BPC=$\frac{EC}{PC}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{7}a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{1}{7}$．

点评 此题考查了切线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．