题目内容
【题目】如图所示，AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AF⊥AC，且AE=AB，AF=AC，AD=3，AB=4．
（1）求AC长度的取值范围；
（2）求EF的长度．
【答案】（1）2＜AC＜10；（2）EF= 6.
【解析】
（1）延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，由“SAS”可得△ABD≌△MCD，可得AB=MC=4，∠BAD=∠M，由三角形三边关系可求解；
（2）由“SAS”可证△AEF≌△CMA，可得EF=AM=6．
（1）延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，
∴AD=DM，AM=2AD=6，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵在△ABD和△MCD中，
，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴AB=MC=4，∠BAD=∠M，
∵AM-MC＜AC＜AM+MC
∴2AD-MC＜AC＜2AD+MC
∴2＜AC＜10
（2）∵AB=AE，
∴AE=MC，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB=∠FAC=90°，
∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，
∴∠BAC+∠EAF=180°，
∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，
∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，
即∠BAC+∠MCA=180°，
∴∠EAF=∠MCA．
∵在△AEF和△CMA中，
，
∴△AEF≌△CMA（SAS），
∴EF=AM=6
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