Question

【题目】如图1，抛物线经过，两点，抛物线与x轴的另一交点为A，连接AC、BC．

求抛物线的解析式及点A的坐标；

若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存一点E，使得是以BD为斜边的直角三角形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由；

如图2，P为抛物线在第一象限内一动点，过P作于Q，当PQ的长度最大时，在线段BC上找一点M使的值最小，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1)；存在，或；的最小值是．

【解析】

利用待定系数法求抛物线的解析式，令解方程可得A的坐标；

根据，构建辅助圆，与y轴有两个交点为点E，根据勾股定理列方程可得点E的坐标；

先作直线；，保证直线l与抛物线有一个公共点，即，可得P的坐标，过P作轴，BC于M，此时的值最小，根据三角函数求确定其最小值是PN的长即可．

解:把，代入抛物线中得：

，解得：，

抛物线的解析式为：，

当时，，

解得：，，

；

存在，如图1，

，，

，

设，

，

，

即，

，

，，

或；

，，

易得BC的解析式为：，

如图2，作直线，

设直线l的解析式为：，

当直线l与抛物线有一个公共点时，这个公共点为P，此时PQ的长最大，

则，

，

，

，

，

解得：，

，

过P作轴于N，交BC于M，

，

，

，

即的最小值是．