Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为的中点．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当AD=，∠CAD=30°时．求的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD．欲证明BC与⊙O相切，只要证明BC⊥OD即可；
（2）连接DE，则根据直径所对的圆周角是直角知∠ADE=90°．利用（1）中的OD∥AC、∠OAD=∠ODA可以推知∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°；由三角形的内角和定理求得∠AOD=120°；然后在Rt△ADE中根据∠EAD的余弦三角函数的定义求得⊙O的直径AE的长度，从而解得⊙O的半径的长度；最后由弧长的计算公式求解即可．
解答：（1）证明：连接OD，则OD=OA．
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角）；
∵，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC；
又∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，即BC⊥OD
∴BC与⊙O相切；

（2）解：连接DE，则∠ADE=90°．
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，
∴∠AOD=120°；
在Rt△ADE中，易求AE==4，
∴⊙O的半径r=2，
∴的长=．
点评：本题综合考查了解直角三角形、弧长的计算以及切线的判定与性质．在判定圆的切线时，一般情况下是作辅助线：连接圆心O与所求的线段和圆O的交点．