Question

3．如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．
（1）求证：CE=EP；
（2）若点E的坐标为（3，0），在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）在OC上截取OK=OE．连接EK，求出∠KCE=∠CEA，根据ASA推出△CKE≌△EAP，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）过点B作BM∥PE交y轴于点M，根据ASA推出△BCM≌△COE，根据全等三角形的性质得出BM=CE，求出BM=EP．根据平行四边形的判定得出四边形BMEP是平行四边形，即可求出答案．

解答 （1）证明：在OC上截取OK=OE．连接EK，

∵OC=OA，∠COA=∠BA0=90°，∠OEK=∠OKE=45°，
∵AP为正方形OCBA的外角平分线，
∴∠BAP=45°，
∴∠EKC=∠PAE=135°，
∴CK=EA，
∵EC⊥EP，
∴∠CEF=∠COE=90°，
∴∠CEO+∠KCE=90°，∠CEO+∠PEA=90°，
∴∠KCE=∠CEA，
在△CKE和△EAP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠KCE=∠PEA}\\{CK=EA}\\{∠CKE=∠EAP}\end{array}\right.$
∴△CKE≌△EAP，
∴EC=EP；

（2）解：y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形．
如图，过点B作BM∥PE交y轴于点M，连接BP，EM，


则∠CQB=∠CEP=90°，
所以∠OCE=∠CBQ，
∵在△BCM和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠OCE}\\{BC=OC}\\{∠BCM=∠COE}\end{array}\right.$
∴△BCM≌△COE，
∴BM=CE，
∵CE=EP，
∴BM=EP．
∵BM∥EP，
∴四边形BMEP是平行四边形，
∵△BCM≌△COE，
∴CM=OE=3，
∴OM=CO-CM=2．
故点M的坐标为（0，2）．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．