Question

阅读理解并回答问题．
（1）观察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…
请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示出来

1

x(x+1)

=

 

．
（2）请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

（3）请利用上述规律，解方程

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

Answer 1

分析：（1）

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…则

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．
（2）将

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

变形为

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

是解题的关键．
（3）根据（1）的规律原方程变形为

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

是解题的关键．

解答：解：（1）

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．

（2）

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

（3）

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

则

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

两边同时乘以（x-4）（x+1），得
x+1-（x-4）=x-4
解得x=9
经检验x=9是原方程的解．

点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．