Question

【题目】问题提出

（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为　 　

问题探究

（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；

问题解决

（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？

Answer 1

【答案】（1）；（2）E、P之间的最大距离为7；（3）修建这条小路最多要花费元．

【解析】

（1）若AO交BC于K，则AK＝8，在Rt△BOK中，设OB＝x，可得x2＝62+（8﹣x）2，解方程可得OB的长；

（2）延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的最大距离为OE+OP的长即可；

（3）先求出所在圆的半径，过点D作DG⊥BC，垂足为G，连接DO并延长交于点P，则DP为入口D到上一点P的最大距离，求出DP长即可求出修建这条小路花费的最多费用．

（1）

如图，若AO交BC于K，

∵点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，

∴AK⊥BC，BK＝，

∴AK＝，

在Rt△BOK中，OB2＝BK2+OK2，设OB＝x，

∴x2＝62+(8x)2，

解得x＝，

∴OB＝；

故答案为：．

（2）

如图，连接EO，延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的距离最大，

∵在是任意取一点异于点P的P′，连接OP′，P′E，

∴EP＝EO+OP＝EO+OP′＞EP′，即EP＞EP′，

∵AB＝4，AD＝6，

∴EO＝4，OP＝OC＝，

∴EP＝OE+OP＝7，

∴E、P之间的最大距离为7．

（3）

作射线FE交BD于点M，

∵BE＝CE，EF⊥BC，是劣弧，

∴所在圆的圆心在射线FE上，

假设圆心为O，半径为r，连接OC，则OC＝r，OE＝r40，BE＝CE＝，

在Rt△OEC中，r2＝802+(r40)2，

解得：r＝100，

∴OE＝OFEF＝60，

过点D作DG⊥BC，垂足为G，

∵AD∥BC，∠ADB＝45°，

∴∠DBC＝45°，

在Rt△BDG中，DG＝BG＝，

在Rt△BEM中，ME＝BE＝80，

∴ME＞OE，

∴点O在△BDC内部，

∴连接DO并延长交于点P，则DP为入口D到上一点P的最大距离，

∵在上任取一点异于点P的点P′，连接OP′，P′D，

∴DP＝OD+OP＝OD+OP′＞DP′，即DP＞DP′，

过点O作OH⊥DG，垂足为H，则OH＝EG＝40，DH＝DGHG＝DGOE＝60，

∴,

∴DP＝OD+r＝，

∴修建这条小路最多要花费40×元．