Question

【题目】如图，抛物线y=ax2﹣ x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；

（3）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=﹣x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= x2﹣x-2；（2）M（2，-3）；（3）存在；点E坐标为(,)、(,)、（,)或(,).

【解析】

（1）根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）作MN∥y轴交BC于点N，可知的面积==2MN=，

故当MN最大时，的面积也最大，此时M到线段BC的距离d也最大，据此可解；
（3）假设存在，设点E的坐标为（n，-n）．以点A，点B，点P，点E为顶点的平行四边形分两种情况：①以AB为边，根据A、B、E点的坐标表示出P点的坐标，将其代入抛物线线解析式中即可求出n值，从而得出点E的坐标；②以AB为对角线，根据A、B、E点的坐标表示出P点的坐标，将其代入抛物线线解析式中即可求出n值，从而得出点E的坐标．综上即可得出结论．

（1）解：由题意得c=-2，0=a×42-×4-2，

解得a= ，

∴抛物线的解析式为：y= x2﹣x-2.

（2）解：作MN∥y轴交BC于点N，

∵的面积==2MN=，

∴当MN最大时，的面积也最大，此时M到线段BC的距离d也最大，

设直线BC的解析式为y=kx+b,

∴,

解得,

∴y=x-2，

∴MN=x-2-( x2-x-2)=- x2+2x=-(x-2)2+2，

∴当x=2时，MN有最大值2，

∴M（2，-3）.

∴当d取最大值时， M点的坐标是（2，-3）；

（3）解：存在，理由如下：

设点 E 的坐标为 (n,n), 以点A,点B,点P,点E为顶点的平行四边形分两种情况，如图，

①以线段AB为边，点E在点P的左边时，

∵A(1,0),B(4,0),E(n,n)，

∴P(5+n,n)，

∵点P(5+n,n)在抛物线y= x2-x-2上，

∴n=(5+n)2(5+n)2,

解得：n1=, n2= ，

此时点E的坐标为(,)或(,)；

以线段AB为边，点E在点P的右边时，

∵A(1,0),B(4,0),E(n,n)，

∴P(n5,n)，

∵点P(n5,n)在抛物线y=x2x2上，

∴n=(n5)2(n5)2,

即n211n+36=0，

此时△=(11)24×36=23<0，

∴方程无解；

②以线段AB为对角线时，

∵A(1,0),B(4,0),E(n,n)，

∴P(3n,n)，

∵点P(3n,n)在抛物线y=x2x2上，

∴n=(3n)2(3n)2,

解得：n3=,n4= ，

此时点E的坐标为（,)或(,).

综上可知：存在点P、E, 使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形, 点E坐标为(,)、(,)、（,)或(,).