题目内容

已知抛物线y=x²-3x- $数学公式$ 的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点E（- $数学公式$ ，0）和点F（0，- $数学公式$ ），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．
①点G是否在直线l上，请说明理由；
②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）令y=0，则x²-3x- $\text{[math]}$ =0，整理得，4x²-12x-7=0，
解得x₁=- $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，
所以，A（- $\text{[math]}$ ，0），B（ $\text{[math]}$ ，0），
令x=0，则y=- $\text{[math]}$ ，
所以，C（0，- $\text{[math]}$ ），
∵- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =-4，
∴顶点D（ $\text{[math]}$ ，-4）；

（2）在y轴正半轴上存在符合条件的点P，设点P的坐标为（0，y），
∵A（- $\text{[math]}$ ，0），C（0，- $\text{[math]}$ ），
∴OA= $\text{[math]}$ ，OC= $\text{[math]}$ ，OP=y，
①若OA和OA是对应边，则△AOP∽△AOC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
y=OC= $\text{[math]}$ ，
此时点P（0， $\text{[math]}$ ），
②若OA和OC是对应边，则△POA∽△AOC，

∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得y= $\text{[math]}$ ，
此时点P（0， $\text{[math]}$ ），
所以，符合条件的点P有两个，P（0， $\text{[math]}$ ）或（0， $\text{[math]}$ ）；

（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线l经过点E（- $\text{[math]}$ ，0）和点F（0，- $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以，直线l的解析式为y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
∵B（ $\text{[math]}$ ，0），D（ $\text{[math]}$ ，-4），
$\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ [0+（-4）]=-2，
∴线段BD的中点G的坐标为（ $\text{[math]}$ ，-2），
当x= $\text{[math]}$ 时，y=- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =-2，
所以，点G在直线l上；

②在抛物线上存在符合条件的点M．
设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），
∵E（- $\text{[math]}$ ，0）、F（0，- $\text{[math]}$ ），B（ $\text{[math]}$ ，0）、D（ $\text{[math]}$ ，-4），
∴OE= $\text{[math]}$ ，OF= $\text{[math]}$ ，HD=4，HB= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB，
∴∠OFE=∠HBD，
∵∠OEF+∠OFE=90°，
∴∠OEF+∠HBD=90°，
∴∠EGB=180°-（∠OEF+∠HBD）=180°-90°=90°，
∴直线l是线段BD的垂直平分线，
∴点D关于直线l的对称点就是点B，
∴点M就是直线DE与抛物线的交点，
设直线DE的解析式为y=mx+n，
∵D（ $\text{[math]}$ ，-4），E（- $\text{[math]}$ ，0），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以，直线DE的解析式为y=- $\text{[math]}$ x-2，
联立 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴符合条件的点M有两个，是（ $\text{[math]}$ ，-4）或（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标；
（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解；
（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可；
②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点，再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点的求解，求顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，点在直线上的验证，相似三角形的判定与性质，联立两函数解析式求交点坐标的方法，综合性较强，难度较大，（2）要根据对应边的不同分情况讨论，（3）求出直线l是线段BD的垂直平分线是解题的关键．