题目内容

在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，3），反比例函数 $数学公式$ （k＞0）的图象经过矩形OABC的对角线交点D．现将背面完全相同，正面分别标有数1、 $数学公式$ 、2、3、4的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数加上1以后作为点P的纵坐标，则点P既在矩形OABC的内部，又在 $数学公式$ （k＞0）的图象上方的概率为________．

$\text{[math]}$
分析：由四边形ABCD是矩形，顶点B的坐标为（4，3），可求得点D的坐标，即可求得反比例涵的解析式，又由题意可求得点P的坐标，然后求得点P既在矩形OABC的内部，又在y= $\text{[math]}$ （k＞0）的图象上方的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答：

解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=BD，
∵顶点B的坐标为（4，3），
∴点D的坐标为：（2， $\text{[math]}$ ），
∵D在反比例函数y= $\text{[math]}$ （k＞0）的图象上，
∴k=xy=2× $\text{[math]}$ =3，
∴反比例函数的解析式为：y= $\text{[math]}$ ，
∵1、 $\text{[math]}$ 、2、3、4的倒数加上1分别为：2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴点P的坐标为：（1，2），（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），（2， $\text{[math]}$ ），（3， $\text{[math]}$ ），（4， $\text{[math]}$ ），
∵点P既在矩形OABC的内部，又在y= $\text{[math]}$ （k＞0）的图象上方的有：（3， $\text{[math]}$ ），
∴点P既在矩形OABC的内部，又在y= $\text{[math]}$ （k＞0）的图象上方的概率为： $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了矩形的性质、待定系数法求反比例函数的解析式以及概率公式的应用．注意掌握数形结合思想的应用．