Question

如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC、CD上的点，BE=CF，AF与DE相交于点O，CG⊥DE，垂足为G．
（1）求证：AD²=AO•AF；
（2）若GO：BE=4：5，试确定点F的位置．

Answer 1

分析：（1）通过证明△ADF≌△DCE，得出∠1=∠2，而∠2+∠3=90°，利用互余关系得出∠AOD=90°，然后可以证得△ADO∽△ADF，所以由该相似三角形的对应边成比例来证得结论；
（2）过F点作FH⊥CG，垂足为H，则FH=OG，由DF=CE，GO：BE=4：5，得FH：CF=4：5，而DE⊥AF，DE⊥CG，则OF∥CG，∠4=∠5，△ADF∽△FHC，利用相似比得出AD：FH=DF：HC，由勾股定理得出AD：DF，从而得出DF：FC．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADF=∠DCE=90°，
∵BE=CF，
∴DF=EC．
∴在△ADF与△DCE中，

AD=DC ∠ADF=∠DCE DF=EC

，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠1=∠2，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AOD=90°，
∴△ADO∽△AFD，
∴

AD

AF

=

AO

AD

，即AD²=AO•AF；

（2）解：如图，过F点作FH⊥CG，垂足为H，
由矩形的性质，得FH=OG，
∵BE=CF，GO：BE=4：5，
∴FH：CF=4：5，
∵DE⊥AF，DE⊥CG，∴OF∥CG，
∴∠4=∠5，
∴△ADF∽△FHC，
∴AD：AF=FH：CF=4：5，
在Rt△ADF中，DF：AD=3：4，
故DF：DC=3：4，
即DF=

3

4

DC．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明全等三角形，相似三角形，利用线段，角的关系解题．