Question

如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
（1）求△OPC的最大面积；
（2）求∠OCP的最大度数；
（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）在△OPC中，底边OC长度固定，因此只要OC边上高最大，则△OPC的面积最大；观察图形，当OP⊥OC时满足要求；
（2）PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；
（3）连接AP，BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，从而求得PC是⊙O的切线．

解答：（1）解：∵AB=4，
∴OB=2，OC=OB+BC=4．
在△OPC中，设OC边上的高为h，
∵S_△OPC=

1

2

OC•h=2h，
∴当h最大时，S_△OPC取得最大值．
观察图形，当OP⊥OC时，h最大，如答图1所示：

此时h=半径=2，S_△OPC=2×2=4．
∴△OPC的最大面积为4．

（2）解：当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如答图2所示：

∵sin∠OCP=

OP

OC

=

2

4

=

1

2

，
∴∠OCP=30°
∴∠OCP的最大度数为30°．

（3）证明：如答图3，连接AP，BP．

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD，
∵

AD

=

PB

，
∴

AP

=

BD

，
∴AP=BD，
∵CP=DB，
∴AP=CP，
∴∠A=∠C
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C，
在△ODB与△BPC中

BC=OB=2 ∠C=∠OBD CP=BD

，
∴△ODB≌△BPC（SAS），
∴∠D=∠BPC，
∵PD是直径，
∴∠DBP=90°，
∴∠D+∠BPD=90°，
∴∠BPC+∠BPD=90°，
∴DP⊥PC，
∵DP经过圆心，
∴PC是⊙O的切线．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．