Question

已知正方形ABCD的边长为2，点P、Q为AD、CD的中点，E、F为AB、BC边上的两个动点，求四边形PQFE周长的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,正方形的性质

专题：

分析：连接AC，延长DA至M，使AM=AP，延长DC到N，使CN=CQ，则当E、F是MN和AB、BC的交点时，四边形PQFE周长最小，则PE+EF+FD的最小值是MN的长，利用勾股定理可求得，利用三角形中位线定理可以求得PQ的长，则四边形的周长的最小值即可求解．

解答：解：连接AC，延长DA至M，使AM=AP，延长DC到N，使CN=CQ．
则AM=AP=CN=CQ=1，
∴DM=DN=3，
在直角△ACD中，AC=

22+22

=2

2

，
∵点P、Q为AD、CD的中点，
∴PQ=

1

2

AC=

2

，
当E、F是MN和AB、BC的交点时，四边形PQFE周长最小，
则PE+EF+FD的最小值是：MN=

32+32

=3

2

，
则四边形PQFE周长的最小值是：3

2

+

2

=4

2

．

点评：本题考查了轴对称的性质，正确作出辅助线，确定PE+EF+FD的最小值时，E、F的位置是关键．