Question

已知：关于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（其中m＞0）．
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁、x₂（x₁＜x₂）．若y是关于m的函数，且y=x₂-2x₁，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，当自变量m满足条件

 

时，y≤2m．

Answer 1

分析：（1）要证明方程必有两个不相等的实数根，即证明△＞0，而△=b²-4ac=（3m+2）²-4×m×（2m+2）=（m+2）²，由m＞0，则（m+2）²＞0，得到△＞0；
（2）由x=

-b± b2-4ac

2a

，得x₁₌

(3m+2)+ (m+2)2

2m

，x₂₌

(3m+2)-  (m+2)2

2m

；所以y=

(3m+2)+ (m+2)2

2m

-2×

(3m+2)- (m+2)2

2m

=

2

m

．得到y=

2

m

．
（3）将y=

2

m

代入不等式y≤2m，得

2

m

≤2m，又m＞0，解此不等式得m²≥1，又∵m＞0，∴m＞1．

解答：（1）证明：△=b²-4ac=（3m+2）²-4×m×（2m+2）=（m+2）²，
∵m＞0，
∴（m+2）²＞0，
△＞0，即方程必有两个不相等的实数根；

（2）解：由x=

-b± b2-4ac

2a

，得x₂⁼

(3m+2)+ (m+2)2

2m

=

2m+2

m

；x₁⁼

(3m+2)-  (m+2)2

2m

=1；
∴y=x₂-2x₁=

2m+2

m

-2×1=

2

m

；

（3）解：将y=

2

m

代入不等式y≤2m，得

2

m

≤2m，又m＞0，
解此不等式得m²≥1，
又∵m＞0，
∴m≥1

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．本题也考查了不等式的解法，m＞0是一个重要的条件．