Question

如图，矩形 A₁B₁C₁D₁的边长 A₁D₁=8，A₁B₁=6，顺次连接 A₁B₁C₁D₁各边的中点得到 A₂B₂C₂D₂，顺次连接A₂B₂C₂D₂各边的中点得到A₃B₃C₃D₃，…，依此类推．
（1）求四边形A₂B₂C₂D₂的边长，并证明四边形A₂B₂C₂D₂是菱形；
（2）四边形A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀是矩形还是菱形？A₁₀B₁₀=？（第（2）问写出结果即可）

Answer 1

分析：（1）由已知，先连接A₁C₁，B₁D₁，根据三角形中位线的性质，得A₂B₂=C₂D₂=

1

2

A₁C₁，A₂D₂=B₂C₂=

1

2

B₁D₁，又由矩形的性质对角线相等，推出四边形A₂B₂C₂D₂是菱形．由勾股定理求出对角线的长，从而求出四边形A₂B₂C₂D₂的边长．
（2）通过观察计算发现规律，A_n+2B_n+2C_n+2D_n+2与A_nB_nC_nD_n相似，且A_n+2B_n+2C_n+2D_n+2的边长是A_nB_nC_nD_n边长的一半，例如，A₃B₃C₃D₃的边长是A₁B₁C₁D₁边长的一半，A₄B₄C₄D₄的边长是A₂B₂C₂D₂边长的一半…，从而得出
A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀也是菱形．

解答：解：连接A₁C₁，B₁D₁，
已知A₁B₁C₁D₁是矩形，∴A₁C₁=B₁D₁，
又A₂，B₂，C₂，D₂是中点，根据三角形中位线性质得：
A₂B₂=C₂D₂=

1

2

A₁C₁，A₂D₂=B₂C₂=

1

2

B₁D₁，
∴A₂B₂=C₂D₂=A₂D₂=B₂C₂，
∴四边形A₂B₂C₂D₂是菱形．
在直角三角形A₁B₁C₁中，根据勾股定理得：
A₁C₁=

A1B12+B1C12

=

62+82

=10，
∴A₂B₂=

1

2

A₁C₁=

1

2

×10=5．
所以四边形A₂B₂C₂D₂的边长为5．

（2）通过观察分析总结各个图形有如下关系：
A_n+2B_n+2C_n+2D_n+2与A_nB_nC_nD_n相似，且
A_n+2B_n+2C_n+2D_n+2的边长是A_nB_nC_nD_n边长的一半，
例如，A₃B₃C₃D₃的边长是A₁B₁C₁D₁边长的一半，A₄B₄C₄D₄的边长是A₂B₂C₂D₂边长的一半…
因此A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀的边长是A₂B₂C₂D₂ 的(

1

2

)5=

1

32

，
所以A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀也是菱形． A₁₀B₁₀=

A2B2

32

=

5

32

．

点评：此题考查的知识点是矩形的判定与性质、三角形中位线定理及菱形的判定，解答此题的关键是由已知和三角形中位线定理得出四边形A₂B₂C₂D₂是菱形，得出四边形A₂B₂C₂D₂的边长．通过观察计算找出规律推出A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀也是菱形．