题目内容

如图，矩形ABCD的4个顶点都在圆O上，将矩形ABCD绕点0按顺时针方向旋转α度，其中0°＜α≤90°，旋转后的矩形落在弓形AD内的部分可能是三角形（如图1）、直角梯形（如图2）、矩形（如图3）．已知AB=6，AD=8．
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（1）如图3，当α=
 
度时，旋转后的矩形落在弓形内的部分呈矩形，此时该矩形的周长是
 
；
（2）如图2，当旋转后的矩形落在弓形内的部分是直角梯形时，设A2D2、B2C2分别与AD相交于点为E、F，求证：A2F=DF，AE=B2E；
（3）在旋转过程中，设旋转后的矩形落在弓形AD内的部分为三角形、直角梯形、矩形时所对应的周长分别是cl、c2、c3，圆O的半径为R，当c1+c2+c3=5R时，求c1的值；
（4）如图1，设旋转后A1B1、A1D1与AD分别相交于点M、N，当旋转到△A1MN正好是等腰三角形时，判断圆O的直径与△A1MN周长的大小关系，并说明理由．
分析：（1）根据矩形的性质可以得到旋转角应是90°，根据矩形的长和宽即可计算得到的矩形的周长；
（2）根据旋转得到对应点之间的弧相等，再根据等弧所对的圆周角相等和等角对等边进行证明；
（3）根据矩形的外接圆的圆心即是其对角线的交点，得到矩形的外接圆的半径等于其对角线的一半5，再根据（1）和（2）的思路，可以求得它们的周长分别是8，再进一步求得C1的长；
（4）根据矩形的角都是直角，则该三角形应是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质和矩形的长和宽列方程求得三角形的周长，再进一步运用求差法比较其大小．
解答：解：（1）当α=90°时，旋转后的矩形落在弓形内的部分呈矩形，
此时该矩形的周长是6×2+（8-6）=14．

（2）①如图，连接A2D，
∵
AA2
=
DD2
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∴∠ADA2=∠DA2D2；
∴A2F=DF．
②如图，连接AB2∵AD=B2C2，
∴
AD
=
B2C2
；
∴
AD
-
AB2
=
B2C2
-
AB2
；
∴
DB2
=
AC2
；
∴∠AB2C2=∠DAB2；
∴AE=B2E．

（3）由（1）（2）得C2=8，C3=8
∵AB=6，AD=8，∠A=90°，
∴R=5，
当C1+C2+C3=5R时，C1=9；

（4）如图，设A1B1交AB于P，A1M=a，AM=b，精英家教网
∵△A1MN正好是等腰三角形，∠A1=90°，
∴∠A1NM=∠A1MN=∠AMP=45°；
∴MN=
a 2+a 2
=
2
a，
∴AD=AM+MN+ND=b+
2
a+a=8…（一）；
同（1）①可证AP=B1P；
∴A1B1=A1M+MP+PB1=a+
2
b+b=6…（二）；
（二）-（一）得：
2
a-
2
b=2；
∴a-b=
2
，即A1M-AM=
2
；
∴△A1MN的周长=AD+
2
=8+
2
；
而⊙O的直径为10，
∴⊙O的直径与△A1MN的周长差为10-（8+
2
）=2-
2
＞0；
∴⊙O的直径大于△A1MN的周长．
点评：此题综合运用了旋转的性质和等腰三角形的判定和性质．综合性强，难度较大．
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10
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