如图1.将三角形纸片ABC沿折痕AD折叠.使得点C落在AB边的点G上.展开纸片沿折痕EF再次折叠.使点A和点D重合,如图2.将矩形纸片ABCD沿折痕EF折叠.使点D与点B重合,如图3.将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折.展开后.将矩形ABEF与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠.使点A.点D都与点F重合．(1)直接写图1中.四边形AEDF的形状:菱形．(2)猜想图2中四边形BEDF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图1，将三角形纸片ABC沿折痕AD折叠，使得点C落在AB边的点G上，展开纸片沿折痕EF再次折叠，使点A和点D重合；
如图2，将矩形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点D与点B重合；
如图3，将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折，展开后，将矩形ABEF与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合．
（1）直接写图1中，四边形AEDF的形状：菱形．
（2）猜想图2中四边形BEDF的形状，并说明理由．
（3）如图3中，①若∠MFE=40°，求∠MNG的度数；②若MP=MN=PQ，请直接写出矩形长AD与宽AB的数量关系．

分析（1）先根据两次折叠，得出△AEF为等腰三角形，再根据EF垂直平分AD，得出AE=DE，AF=DF，最后可得四边形AEDF的四边相等，由此可判定四边形AEDF是菱形；
（2）先根据折叠的性质得出DE=BE，DF=BF，再根据等角对等边得出DE=DF，最后根据“四条边相等的四边形为菱形”判定四边形BEDF是菱形；
（3）①先根据直角三角形的两个锐角互余求得∠EMF，再根据折叠求得∠NMF的度数，最后根据平行线的性质求得∠MNG的度数；②先连接AF，根据菱形的性质以及等腰三角形的性质，判定Rt△MGF≌Rt△MEF，再根据∠MAG=∠MFG=∠MFE，求得∠EAF=30°，最后根据EF与AE的数量关系得到AB与AD的数量关系．

解答解：（1）四边形AEDF是菱形．
证明：如图1，设AD与EF交于点G，
由第一次折叠得，∠BAD=∠CAD，
由第二次折叠得，AD被EF垂直平分，
∴∠AGE=∠AGF=90°，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF为等腰三角形，
∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF，
∴AE=DE=AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形．
故答案为：菱形；

（2）四边形BEDF是菱形，
理由：如图2，连接BD，由折叠的性质可知，BD被EF垂直平分，
∴DE=BE，DF=BF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
由折叠得，∠BFE=∠DFE
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
∴DE=BE=DF=BF，
∴四边形BEDF是菱形；

（3）①如图3，若∠MFE=40°，由折叠可知：∠EMF=90°-40°=50°，
∴∠NMF=（180°-50°）×$\frac{1}{2}$=65°，
∵MF∥NG，
∴∠MNG=180°-∠NMF=115°；
②矩形长AD与宽AB的数量关系为：AD=2$\sqrt{3}$AB
理由：连接AF，则菱形ANFM中，MG⊥FG，∠MAG=∠MFG，MG=$\frac{1}{2}$MN，
由折叠可得，MF=PF，EF⊥MP
∴ME=$\frac{1}{2}$MP
∴MG=ME
在Rt△MGF和Rt△MEF中
$\left\{\begin{array}{l}{MG=ME}\\{MF=MF}\end{array}\right.$
∴Rt△MGF≌Rt△MEF（HL）
∴∠MFG=∠MFE
∴∠MAG=∠MFG=∠MFE
又∵∠MAG+∠MFG+∠MFE=90°
∴∠MAG=∠MFG=∠MFE=30°
∴直角三角形AEF中，$\frac{EF}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$\frac{EF}{AD}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$
∵EF=AB
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$
即矩形长AD与宽AB的数量关系为：AD=2$\sqrt{3}$AB