Question

（14分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，
0）、B（0，-5）、C（5，0）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若平行于轴的直线与此抛物线交于E、F两点，以线段EF为直径的圆与轴相切，
求该圆的半径；
（3）在点B、点C之间的抛物线上有点D，使的面积最大，求此时点D的坐标及
的面积．

Answer 1

解：（1）抛物线经过A（－1，0）、B（0，－5）、C（5，0）
……………………2分
解得……………………………3分
∴抛物线的表达式为：…………4分
（2）如图：

①当直线EF在轴上方时，设圆的半径为R（R>0）,
因为抛物线的对称轴为直线
∴F为（R+2，R），
代入抛物线的表达式，得……………………5分
解得 (舍去)……………………………………6分
②当直线EF在轴下方时，设圆的半径为r（r>0）,
则F为（r+2，-r），
代入抛物线的表达式，得……………………7分
解得 (舍去)…………………………………8分
所以圆的半径为或
（3）解法一：如图，过D作轴的平行线，交于点M，……………………9分
求得直线的表达式为：……………………………………10分
设D（，），则M（，）
∴…………………………………………11分
=
=
当时，DM有最大值为，…………………………………………12分
即当D（，）时，…………………………………………………13分
的面积最大＝
＝
＝……………………………………………………14分
（3）解法二：设D（，），
则………………………………………9分
………11分
……………………………………………………12分
当时，的面积最大值为，…………………………13分
此时，D（，）……………………………………………………14分

解析