Question

已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F.

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.

Answer 1

（1）证明见解析（2）解析:
（1）证明：连接OE，则OB=OE．………………1分
∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠C=60°.
∴△OBE是等边三角形.
∴∠OEB=∠C =60°. ∴OE∥AC．
∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°．
∴∠OEF=∠EFC=90°．
∴EF是⊙O的切线．……………………4分
（2）连接DF, 
∵DF是⊙O的切线，  ∴∠ADF=90°．
设⊙O的半径为r，则BE=r，EC=，AD=．
在Rt△ADF中，∵∠A=60°，   ∴AF=2AD=．
∴FC=．
在Rt△CEF中 ∵∠C=60°， ∴EC=2FC  
∴=2（）．
解得．∴⊙O的半径是．…………………………8分
注：其他解法对应给分。
（1）连接OE，利用等边三角形的性质求出OE∥AC，从而求得∠OEF=90°，得出结论
（2）连接DF，利用切线的性质直角三角形的性质求⊙O的半径